マックのハッピーセットでトミカをコンプリートする確率
こんにちは。
今日は確率のお話をひとつ。
友人が「最近、子供のためにマクドナルドを毎日食べている」と言う。聞くと、食べているのは「ハッピーセット」といって、ハンバーガーセットに子供用のおもちゃがついてくるそうだ。今はそのおもちゃが坊やの大好きな”トミカ”（車のおもちゃ）とのこと。なので友人が毎日頑張ってハンバーガーを食べてトミカを集めているということらしい。お父さん、大変です。
もらえるトミカの種類は全部で８種類。全部集めるには最低でも８回は食べないといけない。しかも、セットを購入しても好きなトミカを選べないらしく、何が当たるかは運まかせなのだそうだ。何とかダブらせずに全部集めたい！と言っていたが、３回目にして、すでにダブリが出たそうだ。
そんな友人を横目に（８種類を一回もダブらせず８回で食べ終わるのって、どのぐらいの確率なのだろうか…？）と思い計算してみた。
◇一度もダブらせずに８種類のトミカを当てる確率
八回の購入時の確率を順に見て行こう。
まず一回目。手元には一台もトミカがないのでダブることはない。即ち、ダブらない確率が１００％だ。（当たり前か）
では、この後二回目以降も「ダブらない確率」をみてみよう。二回目は、手元に１台目にゲットした１種類があるので、８種類のうちから残りの７種類を引き当てなければいけないので、
７/８＝８７．５％。
まあ、８割以上ダブらないのであれば確率は低いだろう。
三回目は、もうすでに２種類持っているので８種類のうちから残りの６種類を当てなければならない。
６/８＝７５％。
これもまだダブらない感じがする。（友人はこの時点でダブった！と言っていたが...）
四回目も同様に手元の３種類とダブらないように、８種類から５種類を選ばねばならない。
５/８＝６２．５％。
だんだん確率が下がってきたな。
五回目。同じように計算すると
４/８＝５０％。
もう半分の確率でダブリを引いてしまう。
六回目も同様、
３/８＝３７．５％。
七回目は、
２/８＝２５％
八回目はなんと
１/８＝１２．５％だ。
そして、最後にこの八回分の確率を全部掛け合わせると、
１００％ × ８７．５％ × ６２．５％ × ５０％ × ３７．５％ × ２５．０％ × １２．５％ ＝ ０．２４％
・・・なんと一回もダブりを引かずコンプリート出来る確率は、たった０．２４％しかない！
言い換えれば、
９９．７６％の確率で、１回以上はダブリを引くということだ。
いやー、こりゃムリだわ。絶対ダブるわね。
相当強運の持ち主であっても８回だけ食べて、完全制覇はできませんわ。
◇では何回チャレンジすれば全部集められるのか？
仮に友人に、「８回の購入しただけでは９９．７６％の確率で全部は集められないよ」と伝えたら、どうなるだろうか。（←まだ伝えてない）
きっと彼はこう言うであろう。
「じゃあオレは何回食べれば８種類集められるのよ？（泣）」
そう、次に気になるのは完全コンプリートするにはハッピーセットを何回買えばいいのか、ということだ。では今度は「何回買えば集められるか」を考えてみよう。
さっき、一回目を引くとき、ダブらない確率は８/８＝１００％だった。つまり一台目はひけば１００％ダブってないトミカがゲットできるわけだ。
次に、二台目を考えよう。
ダブらない確率は７/８で８７．５％だった。ダブらない確率が８７．５％のとき、
ダブってないトミカを引き当てるには、何回引けばよいのだろう。
ダブってない状態すなわち、ダブらない確率１００％にするためには、１００％ を ８７．５％で割ることで求められる。
１００％ ÷ ８７．５％ ＝ １．１４（回）。
二台目に、ダブっていないトミカをゲットするには理論上１．１４回試せばよいということだ。
（※実際に小数で試すことはできないので、１．１４回ということは、
小数点以下を切り上げて２回だ。）
同じように、
三台目 １００％ ÷ ７５．０％ ＝ １．３３回
四台目 １００％ ÷ ６２．５％ ＝ １．６回
五台目 １００％ ÷ ５０．０％ ＝ ２．０回
六台目 １００％ ÷ ３７．５％ ＝ ２．６６回
七台目 １００％ ÷ ２５．０％ ＝ ４．０回
八台目 １００％ ÷ １２．５％ ＝ ８．０回
それぞれの回で、上記の回数を試せば、
ダブってないトミカを引き当てることができることになる。
これらを一回目から八回目までを順に足していくと・・・
１回 ＋ １．１４回 ＋ １．３３回 ＋ １．６回 ＋ ２．０回 ＋ ２．６６回 ＋ ４．０回 ＋ ８．０回 ＝ ２１．７４回
２１．７４回（＝２２回）購入することで、コンプリート（全部集める）できる計算だ。
…ってオイ、２２回って結構な回数だな。
今日でまだ４日目と言っていたので、
あと１８日間、ハッピーセットを食べなければいけないのか。。。
・・・うーん、これってもう全然ハッピーじゃないよね。。。
「８回食べて、８種のおもちゃゲットだぜー！」
と思ってチャレンジするわけだけど、実際はもっともーっと回数がかかるわけだ。
確率的にいっても２２回。
しかも当たらない可能性もあるわけだから、
運が悪ければ、回数はもっと増えるかもしれない。
無粋と言われればそれまでだが、この数字が現実なのだ。
金額も１ハッピーセット５００円だとすると１万円オーバー。
普通に欲しいトミカ買った方が安いん…（以下省略）。
◇おわりに
今日は身近にあることを確率を絡めて考えてみた。
案外、ちゃんと計算してみると思いもしないような数字になる、
ということはよくあることだ。
（僕はこういう性分なので、これまで一度も宝くじも買ったことがないです）
「よっしゃーー３台目ゲットーだぜーーーー！！！」
頑張って毎日ハッピーセットを食べる友人を見て、
この冷酷な数字を伝えるか、そのまま続けてもらうか。
…迷うところであった。
おしまい
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